Tainele raţiunii şi veşmântul matematic al universului

Pentru alpinişti, marinari, salvamontişti sau speologi, nodurile sunt instrumente preţioase de lucru. În multe dintre situaţiile pe care aceştia le întâlnesc, în activitatea lor obişnuită, ştiinţa de a face nodul potrivit se dovedeşte a fi esenţială, uneori chiar decisivă pentru supravieţuire. O explorare rapidă ne oferă o gamă întreagă de noduri, utilizate într-o serie largă de activităţi: noduri marinăreşti, noduri folosite în alpinism şi în expediţiile speologilor, în operaţiunile de salvare sau în camping, în aranjamente decorative, dar şi în încălţăminte. În fiecare dintre aceste activităţi, găsim tipuri diferite de noduri, fiecare cu o anumită rezistenţă şi complexitate.

De exemplu, în categoria nodurilor marinăreşti există unele foarte vechi, chiar din perioada vechilor egipteni, cum ar fi nodul scota sau nodul pescăresc, ce leagă două frânghii diferite, a cărui primă descriere datează, se pare, din 18341. Matematica nodurilor Primele preocupări matematice referitoare la noduri au apărut după ce s-a înţeles că nodurile pot fi studiate sistematic, potrivit unor criterii de ordonare precise2. Matematicienii, intraţi în jocul nodurilor, au încercat să răspundă, pe baza unor demonstraţii riguroase, la câteva întrebări fireşti, dezvoltând ceea ce se numeşte astăzi a fi teoria nodurilor. Iată câteva întrebări: Este un anumit nod cu adevărat înnodat sau, cu puţin succes, îl putem deznoda fără să tăiem sfoara din care este făcut? Date două noduri, putem spune dacă putem să ajungem de la unul la celălalt fără să tăiem sfoara? Putem determina reguli care să asigure un răspuns corect la întrebări de acest fel?3 Cu timpul, matematicienii au integrat această preocupare pentru noduri într-un domeniu mai vast numit topologie4. Practic, topologia oferă posibilitatea unor descrieri geometrice a nodurilor, condiţii adecvate pentru analiza proiecţiei nodurilor pe o anumită suprafaţă (diagrame), dar şi studiul unor procese, precum deformarea nodurilor, tăierea sau deznodarea lor. Curând au apărut şi primele rezultate notabile. Mai întâi au fost identificate procedee de clasificare a nodurilor, după aranjamentele tuturor încrucişărilor posibile, efectuate cu firul de sfoară. Astfel, fiecărui aranjament de încrucişări ale inelului de sfoară (care este exprimat printr-un polinom) îi corespunde un anumit nod, încât la polinoamele diferite corespund noduri diferite. De asemenea, a fost formulată o metodă de a "deznoda" nodurile prin tăierea sforii în anumite locuri şi lipirea capetelor ei exact în locul în care a fost tăiată, după ce firul tăiat e trecut pe deasupra sau pe dedesubtul porţiunii din sfoara cu care era înnodat. În fine, o descoperire neaşteptată a legat şi mai strâns teoria nodurilor de teritoriul solid al matematicii, printr-o legătură între un anumit areal al algebrei şi teoria nodurilor5. Nodurile vieţii Ei bine, toate aceste strădanii, care par a nu avea legătură cu structurile naturale ale lumii fizice, au scos la iveală unele rezultate neaşteptate. Cel puţin în câteva arii majore ale cercetării, teoria nodurilor, care îşi poate dovedi cu uşurinţă caracterul ei teoretic, se leagă strâns de unele aspecte profunde ale realităţii fizice! Primul vizează cărămizile vieţii, întrucât teoria nodurilor pare să aibă rădăcini adânci în înseşi mecanismele celulelor vii! Este bine cunoscut acum faptul că, atunci când celulele se divid, intervine un mecanism de copiere a informaţiei (transcriere) ca noile celule să păstreze un material genetic identic. În procedeul de transcriere a informaţiei genetice în noua celulă, spirala dublă a ADN-ului celular se desface6, unul dintre braţe constituind chiar suportul pe care noua celulă construieşte propriul ADN. Ei bine, mecanismele prin care legăturile moleculelor (abordate ca noduri) se dezleagă, pentru a permite transferul informaţiei în celula nouă, se regăsesc între procedeele de dezlegare a nodurilor din teoria matematică! În funcţie de structura lor, proteinele însărcinate să rupă anumite legături pentru a permite replicarea ADN-ului îşi găsesc anumite corespondenţe în meniul structurilor topologice de care dispune matematica7. Urme matematice în abisul cuantic Cea de-a doua aplicaţie neaşteptată a teoriei nodurilor este legată de teoria corzilor, încercarea frecvent pomenită astăzi de a împăca gravitaţia şi mecanica cuantică. Prin contribuţia unui strălucit matematician, Ed Witten, a fost descoperită o relaţie neaşteptată între structurile matematice din teoria nodurilor şi teoria cuantică a câmpului8. Mai mult, pe parcursul utilizării celor două seturi de rezultate, provenite din cele două teorii, s-a constatat cum ele "trăiesc în simbioză", în aşa fel încât "teoria corzilor a beneficiat de rezultatele din teoria nodurilor" şi "teoria corzilor a condus la noi descoperiri în teoria nodurilor"9. Câtă vreme o teorie cuantică a gravitaţiei întârzie să apară, chestiunile sunt încă în stadiul de explorare. Oricum ar fi însă, prin joncţiunea aceasta neaşteptată dintre teoria matematică şi fizică, a ieşit la iveală o altă situaţie extraordinară în experienţa cunoaşterii. Cei care au construit în cuprinsul teoriei matematice polinoamele asociate nodurilor au exprimat odată cu ele, fără să ştie, chestiuni importante ce ţin - surpriză! - de dinamica descrisă de ecuaţiile lui Einstein privitoare la gravitaţie!10 Între timp au apărut şi alte numeroase aplicaţii ale teoriei nodurilor care dovedesc o stranie legătură între jocul topologic desfăşurat în cuprinsul teoretic al matematicii şi caracteristicile profunde ale universului şi ale vieţii. În afara rezultatelor pomenite aici sumar, referitoare la ADN şi la gravitaţia cuantică, sunt deja consemnate contribuţii ale teoriei nodurilor în legătură cu anumite specii de peşti, cu lanţurile de polimeri sau în arhitectura reţelelor de cabluri telefonice11. Toate acestea fac ca astăzi matematicienii să fie convinşi că nodurile sunt construcţii de bază, concepte indispensabile, precum cercul, definind în esenţă o relaţie fundamentală între anumite cantităţi12. Ele scot la iveală legăturile extraordinare existente între construcţiile topologice referitoare la anumite corpuri existente în macrocosmos şi unele aspecte subtile existente în microcosmos în constituenţii fundamentali ai lumii fizice sau în arhitectura cărămizilor esenţiale ale vieţii13. Intuiţiile minţii şi progresul cunoaşterii În general, multe etape majore în progresul fizicii secolului XX au fost făcute în baza acestor intuiţii profunde, născute în planul conceptelor şi construcţiilor teoretice, uneori prin calcul matematic, alteori printr-o uimitoare credinţă în valabilitatea anumitor simetrii. Intuiţiile acestea, cu expresiile lor mai mult sau mai puţin elaborate, au intrat adesea în circulaţie, mai înainte ca vreun experiment să le confere validitate. Intuiţiile teoreticienilor, fără a fi luminate de date experimentale, i-au încurajat să afirme lucruri care s-au dovedit, prin verificare, mult mai târziu. Leonard Susskind, de exemplu, analizând câteva situaţii din istoria ştiinţei, constată câteva din marile rezultate ale fizicii care au fost posibile prin eforturile teoretice, fără o contribuţie experimentală semnificativă. Un prim exemplu oferit de Susskind vine dinspre proprietăţile luminii. Teoria matematică arăta, în secolul al XIX-lea, că energia totală din radiaţia corpului negru era infinită. Energia stocată la fiecare lungime de undă individuală era finită, însă, însumate când se însumau toate aceste contribuţii, rezultatul indica o cantitate infinită de energie în lungimile de undă foarte scurte ("catastrofa ultravioletă"). Chestiunea va fi rezolvată prin intermediul cuantificării energiilor fotonului, introducând cantităţi discrete de energie corespunzătoare fiecărui foton. Însă pentru rezultatul acesta, scrie Susskind, "nici un experiment din secolul XX nu a jucat vreun rol14. Multe alte rezultate ale teoreticienilor par să fi jucat un rol determinant în reprezentările atomului, în mecanica cuantică, în relativitatea generală (în care crucial a fost experimentul mental al lui Einstein), în dezvoltarea electrodinamicii cuantice (motivată de dorinţa lui Dirac de a armoniza relativitatea restrânsă şi mecanica cuantică)15. De asemenea, rezultate de acest fel pot fi considerate şi ideea lui Pauli de a caracteriza electronii prin intermediul unui principiu de excluziune (care consfinţeşte că aceste particule nu pot ocupa aceeaşi stare cuantică, fiind dispuşi doar câte doi pe fiecare orbital, unul cu spinul orientat în sus şi altul în jos) şi ideea existenţei unor particule cu masa identică cu cea a electronului, dar cu sarcina opusă (formulată de Dirac)16. Leonard Susskind crede că dovezi de acest fel pot fi văzute şi ca argumente în favoarea ideii că teoreticienii sunt cei ce împing graniţele explorării lumii. Mintea omului e "motorul" principal al cunoaşterii în aria fizicii sau a cosmologiei. Şi eficacitatea acestui mod de cunoaştere se întemeiază pe uimitoarea compatibilitate dintre minte şi realitatea înconjurătoare. Încât, creditând formele şi structurile văzute cu mintea, cercetătorii au păşit mai departe, în momente în care validarea experimentală nici măcar nu era luată în calcul17. Ce ar mai putea fi spus după toate aceste exemple? Că astfel de situaţii provoacă dezbateri în lumea savanţilor, cu referire la unele întrebări răscolitoare ce privesc deopotrivă structura fizică ultimă a universului în care trăim, natura vieţii, dar şi actul cunoaşterii, cu puterea decisivă a minţii omeneşti de a elabora construcţii şi concepte matematice pe care să le dezvolte potrivit unor algoritmi bine aleşi. Fenomenologie, teologie şi misterul matematicii Şi, câtă vreme în centrul discuţiilor sunt aceste întâlniri surprinzătoare între conceptele minţii omeneşti şi structurile ascunse ale microcosmosului şi ale vieţii, este întrucâtva uşor de înţeles cum reflecţia matematicienilor, a celor care analizează îngemănarea tainică dintre minte şi realitate, să aducă în discuţie însăşi constituţia anatomică şi fiziologică a receptivităţii omeneşti şi, în mod mai profund, dar şi mai cuprinzător, structurile fenomenologice care sunt puse în mişcare de activitatea întregului aparat perceptiv şi de reprezentare mentală a realităţii sesizate care stă ascuns dedesubtul oricărui fapt de ştiinţă, născut la întâlnirea omului cu realitatea. Preocuparea celor care analizează toate aceste date sfârşeşte prin a formula una dintre cele mai cuprinzătoare şi provocatoare probleme ale cunoaşterii care fac referire la matematică. În fond, care este natura realităţii matematice şi care este legătura ei cu mintea omenească, pe de o parte, şi cu realitatea înconjurătoare, pe de altă parte? "Are matematica o existenţă independentă de cea a minţii umane?, se întreabă Mariol Livio. De ce pot fi aplicate conceptele matematice mult dincolo de contextul în care au fost iniţial elaborate?"18 Subsecvent, întrebările acestea angajează şi o altă problemă: este matematica descoperire sau mai degrabă este o invenţie a minţii omeneşti? Dacă este descoperire, în ce cuprins al realităţii stă ea depozitată şi cum îşi are ea rădăcini înfipte adânc în realitatea înconjurătoare? Iar dacă este invenţie, revine din nou în atenţie întrebarea care tocmai a fost formulată: cum se explică eficacitatea extraordinară a acestor concepte inventate în descrierea realităţii fizice. Este semnificativ, în fine, că teologia vede şi raţiunea omului, şi ordinea lumii, şi capacitatea omului de a le sesiza pe amândouă, în chip distinct, dar într-o anumită legătură, cuprinse în adevărul că toate au fost făcute prin Fiul lui Dumnezeu, Logosul. Însă înţelegerea teologiei merge chiar mai departe. Părintele Stăniloae afirma că imboldul cunoaşterii, sădită în om, şi dorinţa de explorare sunt semnul că Dumnezeu Însuşi vrea de la noi să înţelegem tot mai bine şi mai deplin "gândurile Lui puse în lucruri şi cuvintele ce ni le-a adresat prin ele, sau ni le adresează prin situaţiile noi în care suntem puşi"19. Astfel, ştiinţele ce caută să desfacă fenomenele lumii fizice, să sesizeze alcătuirea, să numească diferitele lor părţi şi forme de ordine, pentru a-i captura aspectele matematizabile, pot fi un capitol de teologie practică. "Dumnezeu aşteaptă ca omul să descopere nesfârşitele gânduri ale Sale puse în lucruri şi să exprime în cuvintele lui tot mai multe din indefinitele înţelesuri pe care voieşte ca el să I le pună prin lucrurile create pentru el."20 note 1 Am utilizat, pentru acest paragraf, informaţii existente în www.noduri.ro, un loc unde sunt clasificate şi exemplificate multe dintre nodurile frecvent utilizate în ariile pe care le-am menţionat. 2 Mario Livio, Este Dumnezeu matematician, Editura Humanitas, Bucureşti, 2011, p. 225. 3 Cf. Eric W. Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 1999, CRC Press, 1999, p. 999. 4 Topologia reprezintă o arie a matematicii care are în vedere proprietăţile ce rămân neschimbate după deformările continue ale obiectelor. 5 Este vorba despre Vaughan F.R. Jones, "A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras", în Bulletin of the American Mathematical Society (New Series), volum 12, nr. 1 (1985), pp. 103-111. 6 Cantitatea de informaţie depozitată într-o spirală ADN este impresionantă. Ea ar putea fi transcrisă prin scrierea unor cuvinte într-un ritm alert, de 60 de cuvinte pe minut, timp de opt ore pe zi, aproape cincizeci de ani! Dacă toate legăturile existente în ADN ar fi desfăşurate într-o configuraţie liniară, lanţul molecular ar atinge o lungime de 1,7 metri. Mecanismele de "împachetare moleculară" a informaţiei asigură, cum se vede, depozitarea întregului material genetic, decisiv pentru viaţă, într-un volum considerabil mai mic decât o celulă! (cf. Human Genome Facts, şonlineţ http://www.colorado.edu/Outreach/BSI/pdfs/genome_facts.pdf). 7 Analogia aceasta procură de fapt o metodă topologică, aşadar matematică, pentru aplicaţii în enzimologie (cf. Jeny Tompkins, "Modeling DNA with Knot Theory: An Introduction", şonlineţ: http:// www.rose-hulman. edu/mathjournal/archives/2006/vol7-n1/paper13/v7n1-13pd.pdf). 8 Amrio Livio, Este Dumnezeu matematician, p. 239. 9 Ibidem, p. 239. 10 Cf. Encyclopedia of Mathematical Physics, volum 3, Jean Pierre Francoise (editor), Gregory L. Naber (editor), Tsou Sheung Tsun (editor), Academic Press/ Elsevier, Oxford, England, 2006, p. 220. 11 Cf. Kunio Murasugi, Knot Theory and Its Application, Birkhauser, 1996, Boston. Titlul este, de altfel, o excelentă introducere în temă. Cartea este disponibilă şi online, în întregime, la adresa http://www.maths. ed.ac.uk/-aar/papers/murasug3.pdf. 12 Cf. Dan Silver, "Knot theoryâs odd origins", în rev. American Scientist vol. 94, nr. 2, 2006, pp. 158-165, sau şonlineţ, în http://www. southalabama.edu/mathstat/personal_pages/silver/scottish.pdf. 13 Cf. Encyclopedia of Mathematical Physics, p. 220. 14 Cf. Leonard Susskind, Peisajul cosmic. Teoria corzilor şi iluzia unui plan inteligent, Editura Humanitas, 2012, p. 303. 15 Ibidem. 16 Ibidem, pp. 304-308. 17 Ibidem, p. 309. 18 Mario Livio, Este Dumnezeu matematician, p. 249. 19 Pr. Dumitru Stăniloae, Teologie Dogmatică Ortodoxă, vol. II, p. 243. 20 Ibidem. Rubrica "Lumina cunoştinţei. Religia, filosofia şi ştiinţele în dialog" este realizată cu sprijinul Fundaţiei "John Templeton" din SUA, în cadrul unui proiect desfăşurat de Universitatea "Al. I. Cuza" Iaşi şi Universitatea Bucureşti, în cooperare cu Patriarhia Română.